许莼舫详解两道正五角星几何计算题单墫博士是数学界的前辈，推荐过两本五十年代发行的课外辅导书《因式分解》(刘尼著)和《几何定理和证题》(许莼舫著)这两本书写得很好，对学生时代的单墫影响很大，多年以后仍然记忆犹新对于现在的教材有什么感觉。
单墫博士是数学界的前辈，推荐过两本五十年代发行的课外辅导书《因式分解》(刘尼 著)和《几何定理和证题》(许莼舫 著)。这两本书写得很好，对学生时代的单墫影响很大，多年以后仍然记忆犹新。
对于现在的教材有什么感觉？我想去KTV唱《一言难尽》，如果得到一本好的教材，我想去KTV高歌一曲《一生何求》。
今天的主题是两道有关正五角星的几何计算题，读者可以从中领略数学史家许莼舫先生的名家风采。
下面请看《许莼舫初等几何四种》的重印说明：
许莼舫氏著《几何定理和证题》、《几何作图》、《轨迹》、《几何计算》四本初等几何学习参考书，在无产阶级文化大革命前作为初中学生课外补充读物，曾多次印行。现在中学数学教材已经改革，这四本书作为配合教学的读物，已不适用。但鉴于这四本书讲解初等几何基本知识，对一般青年学习初等几何，还有一定参考价值，许多青年读者和中学教师也纷纷来信要求重版，由于作者已于文化大革命前夕因病去世，不能再作修订，爰照旧版重印，合订一册，改用现在这个书名。
中国青年出版社
1978年8月
《几何计算》
作者的話有些中学同学在学习平面几何学的时候，由于对基本概念了解得不够清楚，对定理和法則即使都明白也还不会灵活运用，因而难于获得良好的学习成果。作者因为有这样的感觉，才编写了这一套小书。这套书分“几何定理和证题”、“几何作图”、“轨迹”和“几何計算”四册。内容主要是：(1）帮助同学们透彻了解教科书里的材料；(2）把这些材料分类和总结指导同学们怎样去运用，从而掌握解题的正确方法；(3)举示多量例题，对同学们作出较多的引导和启示，借此收到观摩的效果；(4）提供一些补充材料，使同学们扩大眼界，充实知识，提高理论基础，为进一步学习创造有利条件。
本书在第一章里面，详细介紹了许多基本的知识，使同学们对几何量有一个彻底的认识。再详示解計算題的步骤和应行注意的事项，使同学们在实际解题时可以一丝不乱，免除错误。
关于几何量的可通约和不可通约的两种情况，以及几何比例基本定理对这两种情况的普遍适用，是同学们很难理解得，本书特地作了浅显的讲解，用实例說明了极限的定理，借此把几何计算的理论基础打好，以便和实际联系起来。
从第二章起，分类把各种几何計算作系统的讲述，尽量把重要定理译成简明的公式，并多举范例，启示思考的过程，培养运用定理的能力。关于几何计算在日常生活和测量上的应用，特地另举了一些范例和研究题，并且还介绍了几个中国古代的几何计算题，可以增加学习兴趣。
本书在编写时虽经仔细斟酌，但错误之处还恐难免，希望读者多多批评和指正。
许莼舫
一、基本知识
1.1 什么是几何计算题有这样一个问题：
“正五角星形的五个顶角各是多少度？”
所謂正五角星形，就是我們中华人民共和国的国旗上的标帜，同学们对它都是非常热爱的。
关于正五角星形的性质，在“几何作图”一书里已经讲到了一些，如果你读过那本书，对正五角星形的性质一定都很熟悉；上举的问题也就不难解答了。
要解决上举的问题，必须先知道正五角星形是从一个正五角形的五条对角线所围成的，其实是一个“凹十角形”。它有十条相等的边——AF , FB , BG , GC , CH 等；五个相等的“顶角”——∠JAF , ∠FBG 等；五个相等的“叉角”——∠AFB , ∠BGC 等.它同正五角形一样，也有一个外接圆，各顶点分这外接圆成五等分。从这些性质，以及我们以前学过的许多几何定理，就可以用下举的两种解法，来求正五角星形的顶角的度数。
解法一 因〖弧CD〗是全圆周的五分之一，所以
〖弧CD〗 =1÷5×360°=72°.
又因∠JAF 是〖弧CD〗所对的圆周角，从圆周角的定理，知道这一个角可以拿½〖弧CD〗来度它，所以
∠JAF =½×72°=36°.
同理，其他的各顶角也都是36°.
解法ニ 从三角形的外角定理，知道
∠AJF = ∠B∠D （为便利计， ∠FBG 简称 ∠B ，以下同）
∠AFJ = ∠C∠E.
但又从三角形的内角定理，得
∠A∠AJF∠AFJ =180°,
∴ ∠A∠B∠C∠D∠E =180°.
又因正五角星形的五个顶角都相等，所以
5∠A=180°, ∠A =36°.
其余同理。
注 从上举的解法，我們知道要求图中其他各角的度数，都很容易。像∠BAF , ∠ABF 等都是36°, ∠AFJ , ∠AJF 等都是72°, ∠AFB , ∠BGC 等都是108°.图中所有的一切角，除掉大于180°的优角外，不出这三种度数。这三种度数——36°,72°,108°——恰巧顺次成为一串“等差级数”.
问题升级讲过了这一个问题的解法，我們为了要对这可爱的正五角星形作更进一步的认识，这里再提出如下的一个新问题：
“已知正五角星形中相邻两顶点的距离是2寸，求（1）边长；(2）相邻两叉点的距离——JF , FG 等；(3）相对两顶点的距离—— BE , AC 等”。
要解决这一个问题，必须进一步认识前图中所有的一切三角形都是等腰三角形。在这些等腰三角形中，顶角是36°，底角是72°的有二十个，它们都相似，其中的△AFJ 等的五个全等， △ACD 等的五个全等， △ABG 等十个全等；顶角是108°，底角是36°的有十五个，也都相似，其中的△ ABF 等五个全等，△ ABE, △HBE 等十个全等。
从“相似三角形的对应边成比例”的定理，注目 △BAJ 和△AJF，得
BA : AJ = AJ : JF .
因 BA = BJ , AJ = BF ，代入上式，得
BJ : BF = BF : JF ..........（i）
又注目 △ABE 和△ FAB ，得
BE : AB = AB : FA .
因 AB = BJ , FA = JE ，代入上式，得
BE : BJ = BJ : JE ..........( ii).
上举公式（ i ）所表示的是线段 BJ 被 F 点所分，其中的长线分 BF 是短线分 JF 和全线 BJ 的比例中项，我们称做线段 BJ被 F 分成“外中比”。同理，公式（ ii ）所表示的是线段 BE 被 J 分成外中比。
注 前图中所有的一切线段，不出四种長长度，最长的像 BE , AC 等五条，可简称做“对顶距”，用 a 表示；较短的像 AB , BC 等，可简称做“邻顶距”，连同相等的BJ，AG 等共计十五条，都用 b 表示；更短的像 BF , JE 等十条是边，用 c 表示；最短的像JF , FG 等五条，可简称做“邻叉距”，用 d 表示。因为从（i）和（ ii）知道
a : b = b : c = c : d ,
所以这四种长度顺次恰成一串“等比级数”。
根据这些性质，可用下法解前举的新问题：
解 设边长BF = x 寸，因已知BJ= AB =2寸，所以 JF =(2一x）寸。根据公式（i）得比例式 2:x=x:2-x
化为等积式，移项，得二次方程式
x² 2x-4=0
解得
x=(-2±√(4 16))÷2=(-2±√20)÷2=(-2±2√5)÷2=-1±√5.
因负值不适用，故得边长是-1 √5≈-1 2.236=1.236寸。邻叉距是
2-1.236=0.764寸。
又设对顶距 BE = y寸，因已知BJ=AB=2寸，故JE =(y-2)寸。根据公式(ii)，得比例式
y :2=2:y-2.
化为等积式，再移项，得
y²-2y-4=0
解得
y=(2±√(4 16))÷2=(2±2√5)÷2=1±√5
同前，得对顶距是1 √5≈1 2.236=3.236寸。
在上面所述的兩个問題中，所有的角、弧和线段，都是有大小可以度量的，叫做几何量。我們要度量一个几何量，必须先取一适当的同类量做单位——像“度”“寸”等，用这单位来量欲测的几何量，看它含这单位量的多少倍。这倍数就是欲测的量对于单位量的比值，叫做“該量的测度”。例如线段的单位用寸，假使一线段的大小是1寸的2倍，就是这线段对于1寸的线段的比值是2，那末这线段的测度就是2。
有些几何图形，可以根据已知的性质或几何定理，求出其中的某些几何量的测度，像前举的第一問題就是。又有些几何图形，必须有一部分几何量的测度为已知，才能根据已知的性质或几何定理，求出另一部分的测度，像前举的第二问题就是。这样的两种问题，都是几何学中的计算题。
同学们都知道，几何定理就是关于各种几何图形的性质的叙述。古代的劳动人民，为了在生产实践中必须计算各种几何量，像定方向，测高深，求地积等，于是发现了许多几何定理。可见几何学是在生产条件下发生和发展的，它最初是从积累起来的丰富的实际经验中总结出几何定理，接着再用理论方式加以证明，最后又拿来供给实际的应用，是理论和实际密切结合的。我們学习几何计算题，可以把已经学习的几何定理联系到实际上去，便学用一致的教育目标更具体，更明确起来。
解計算題要用哪些定理
在上节解兩个几何計算題时，要根据下列的許多几何定理：
(1）圓周角拿所对的弧的一半来度它。
(2）三角形三内角的和是二直角。
(3）兩个三角形的兩組角彼此分別相等，那末两三角形相似。
(4）相似三角形的对应边成比例。
..............................................................................
这許多定理都是关於几何量的比較，就是量的相等和不等。初等几何所研究的圖形性質，多数是关於量的比較，以及从此推得的其他情形，像直的平行和垂直之类。这些性質，都和度量有关，叫做““圖形的度量性”。
另外还有許多几何定理，是研究諸线或諸圓共点，諸点共线或共圓等性質的，这些只是表示点、线、圓等相互間的位置关系，和度量無关，叫做““圖形的非度量性”。
凡是关於圖形的度量性的定理，在解几何計算题时一定要用到，所以我們要想掌握各种計算題的解法，首先必須熟習......
(以下略)
读后感结论：已知AB=BJ=2，求解得：
AC=BE=a=对顶距=y=3.236
AB=BC=b=邻顶距=2
BF=JE=c=边=x=1.236
JF=FG=d=邻叉距=0.764
上图的正五角星包含两类黄金三角形：黄金三角形都是等腰三角形，一类的顶角是36°，另一类的顶角是108°.
黄金三角形的有趣性质很多，读者可以参阅下面的链接https://m.toutiao.com/is/2ngk4EX/?=等腰三角形的趣题赏析 - 今日头条
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