一类最值问题的求解模型有关求解最值的问题很多，题目的类型也很多，一般都是放在选择题压轴题的位置上或填空题的压轴题的位置上很多同学对动点几何最值问题很畏惧，不知如何下手分析，做题没思路笔者认为这是模型积累不够的表现，几何的基。
有关求解最值的问题很多，题目的类型也很多，一般都是放在选择题压轴题的位置上或填空题的压轴题的位置上。很多同学对动点几何最值问题很畏惧，不知如何下手分析，做题没思路。笔者认为这是模型积累不够的表现，几何的基础是图形的性质，而不同的图形性质可以搭建出各个模型，从而演化出我们熟悉的典型题目。
在日常学习中，同学们如果只是粗略地将所有练习题做一遍，而拒绝总结归类，可能最终并不会有太多收获。更重要的是，在遇到模型叠加及综合后，是否可以准确判断出相关模型及切入点，决定了一道几何题能否在规定时间内被攻破。其次，不会做几何辅助线，往往是对关键词不敏感。
做几何题的重点在于多种模型综合运用，对模型的熟练掌握直接体现为：题中出现关键字眼的时候可以马上在脑中反应出多种做法，并挑选出正确的做法。此外，对几何模型的掌握绝不能一知半解，否则很容易陷入错误解法的怪圈。今天我们推出一种解决最值问题的模型：定边对定角模型。
模型探究如图，在△ABC中，AB=4,∠ACB=90°，
（1）求△ABC的最大面积。
（2）求AC BC的最大值。
分析：本题中有两问，我们首先来研究第一问：
在条件中，我们可以知道AB的长为4, 如果以AB为底，那么底是确定的，即为定长，现在要求△ABC的面积的最大值，我们只需要让AB边上的高最大即可，所以可以过点C作CD⊥AB于D（如下图），则当CD最大时，△ABC的面积最大，所以我们将这类问题转化为求高CD的最大值问题。
在前面的学习中，我们已经知道，当直角三角形的斜边为定值时，斜边上的中线为定值,且等于斜边的一半，所以我们可以作出AB边上的中线CE(E为AB的中点),如下图：
通过以上步骤，我们可以知道△CED为直角三角形，CE是斜边，根据斜边大于直角边，我们可以知道CD＜CE=2, 而点C为动点，当点C在AB的垂直平分线上时，即△ABC为等腰直角三角形时，CD与CE重合，此时CE=CD,
故我们可以得到CD≤CE=2.这样我们就找到了高CD的最大值，从而可以计算出△ABC的最大面积为4×2×0.5=4.
（2） 接下来，我们继续研究第二问，需要求解AC BC的最大值为多少？
在前面的学习中，我们已经学习了要求两条线段的和时，我们可以通过截长补短法来解决，这种方法可以将两条线段和的问题转化为一条线段的长度问题。下面我按照这个思路给大家分析一下。
首先，我们延长AB到B',使得CB'=CB,连接BB',如下图所示。
通过恰当的作辅助线，我们可以知道AB'=AC BC，即将求AC BC和的问题转化为求AB'的长问题。根据上图我们可以知道∠AB'B=45°，而AB=4,所以我们可以快速定位到定边定角模型，点B'的轨迹是以AB为弦，圆心角∠AOB=90°的优弧。所以我们就可以快速画出点B'的轨迹。如下图所示：
由上图可知，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，OA=OB=2倍根号2，即⊙O的半径为2倍根号2，而AB'为⊙O的一条弦，我们知道，在圆中直径是最长的弦，所以当点C与O重合时,AB'最长，即AC BC的和最大。此时三角形ABC恰好是以点C为顶点的等腰三角形。动态演示如下：
模型综述定边定角模型中，以动点为顶点的三角形是等腰三角形时，三角形的面积最大，周长最大。这一个结论很重要，需要每个同学理解并牢记。
经典考题1．在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为（0，1）、（0，5）、（3，0），D是平面内一点，且∠ADB＝45°，则线段CD的最大值是______．
【解析】：∵点A、B坐标分别为（0，1）、（0，5），∴AB＝4，
作PH⊥AB于H，则AH＝BH＝2，取PH＝2，则△PAB为等腰直角三角形，
∴∠APB＝90°
∵∠ADB＝45°，∴∠ADB＝1/2∠APB，
∴点D在以P点为圆心，PA为半径的圆上，
∵线段CD要取最大值，∴P点在第二象限，P（﹣2，3），
∵CD≤PD PC（当且仅当C、P、D共线时取等号），
∴CD的最大值为PD PC，
2．如图，已知等边△ABC的边长为2√6，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值______．
【解析】：∵CD＝AE，∴BD＝CE，
易证△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE ∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE ∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是弧AB，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB ∠ACB＝180°，∴∠OAC ∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
3．如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝√3，点P在Rt△ABC内部，且∠PAB＝∠PBC，连接CP，则CP的最小值等于______．
【解析】：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝√3，
∴tan∠BAC＝BC/AC=√3/3，∴∠BAC＝30°，
∴∠CBA＝60°，即∠1 ∠2＝60°，
∵∠PAB＝∠1，∴∠PAB ∠2＝60°，∴∠APB＝120°，
∴点P在以AB为弦的圆O上，∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，∴∠3＝∠4＝30°，
∴∠1 ∠2 ∠3＝90°，即∠CBO＝90°，
∠DAO＝∠BAC ∠4＝60°，∠AOD＝30°，
过点O作OD⊥AC于点D，∴∠DOB＝90°，
∵∠DCB＝90°，∴四边形DCBO是矩形，
∴DC＝OB，OD＝BC＝√3，
∴在Rt△ADO中，AD＝OD•tan30°＝√3×√3/3＝1，
∴DC＝AC﹣DC＝3﹣1＝2，∴OB＝OP＝2，
∴利用勾股定理可求得OC＝√7，
当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值，
∴CP的最小值为OC﹣OP＝√7﹣2．
变式．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为______．
【解析】：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC ∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
4．如图三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC＝______度时，AD有最大值_____．
【解析】：如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．
∵△BCD，△AOC都是等边三角形，
∴CA＝CO，CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠OCD，易证△ACB≌△OCD，
∴OD＝AB＝3，
∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，
∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA OD＝4 3＝7．
∵△ACB≌△OCD，∴∠CAB＝∠DOC，
∵当D、O、A共线时，∠DOC＝180°﹣60°＝120°，
∴当∠BAC＝120度时，AD有最大值为7．故答案为120，7．
5．如图1，E、F分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，且AB＝2，若将△AEF绕点A逆时针旋转一周，在旋转过程中直线BE、DF相交于点P．
（1）在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，线段BE、DF有怎样的数量关系和位置关系，并就图2的位置加以说明；
（2）在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，线段PA的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求当△AEF绕点A从起始位置旋转一周回到终止位置过程中，点P运动的路径长．
【解析】：（1）BE＝DF，BE⊥DF，如图1，
易证△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE ∠AGB＝90°，∴∠ADF ∠PGD＝90°，
∴∠DPG＝90°，∴BE⊥DF；
（2）如图1，取EF中点，连接PH，AH，
∵∠EAF＝∠FPE＝90°，
∴PH＝AH＝1/2EF＝√2/2，
∴点P，H，A三点共线时，PA最长为√2．
（3）连接BD，取BD中点O，连接OP，OA，如图2，
∵∠BAD＝∠BPD＝90°，
∴OP＝OA＝1/2BD＝√2，∴P在以O圆心，√2为半径的圆上，
当PA取最大时，PA＝OP＝OA＝√2，
点P运动的路径是以O为圆心，以√2为半径圆心角是60°的弧的位置，再返回到点A，从另一方向继续以点O为圆心以√2为半径旋转60°的弧的位置，再返回，即：4段以点O为圆心，√2为半径圆心角是60°的弧的弧长，
∴点P运动的路径长为4×π√2/3＝4π√2/3．
6．问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）
【解析】：（1）如图记为点D所在的位置．
（2）如图，
∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．
∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P₁，P₂两点，
连接BP₁，P₁C，P₁O，∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外；
∴△BPC的顶点P₁或P₂位置时，△BPC的面积最大，
作P₁E⊥BC，垂足为E，则OE＝3，
∴AP₁＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，由对称性得AP₂＝8．
（3）可以，如图所示，连接BD，
∵A为▱BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°，
∴BD＝100，∠BED＝60°
作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取弧BED的中点E′，连接E′B，E′D，
则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为正三角形．
连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′，
∵E′A⊥BD，
∴四边形E′BC′D为菱形，且∠C′BE′＝120°，
作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO OA＝E′O OA＝E′A，
∴S△BDE＝1/2•BD•EF≤1/2•BD•E′A＝S△E′BD，
∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′＝2S△E′BD＝100²•sin60°＝5000√3（m²）
所以符合要求的▱BCDE的最大面积为5000√3m²．
解题思路总结1-模型识别：两定（A、B）一动（C），AB长固定，∠ACB固定，
求△ABC周长及面积最大值；
2-计算模型建立：做△ABC外接圆，
3-模型结论：当△ABC为以C为顶点等腰三角形时，其周长和面积最大。
