要证菱形AFCE，只要证明AC，EF互相垂直平分即可。为此，连结AC，设AC，EF相交于点O。为此，作点E关于DC的对称点E’，连接FE’交DC于点P，则此时△PEF的周长最小。
H24.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E，F分别在AD，BC上，点A，C关于EF对称，点P是边DC上的动点。（1）连AF，CE，求证：菱形AFCE；（2）当△PEF的周长最小时，求DP：CP；（3）连BP交EF于点M，当∠EMP=45°时，求CP的长。解读：题设“点A，C关于EF对称”，这句话的言外之意，
矩形得对角线AC被EF垂直平分，即EF是AC的中垂线。
（1）要证菱形AFCE，只要证明AC，EF互相垂直平分即可。
为此，连结AC，设AC，EF相交于点O。
由点A，C关于EF对称得，EF垂直平分AC，
通过证明Rt△AOE≌Rt△COF得，点O也为EF的中点，
因而AC，EF互相垂直平分，则菱形AFCE；
（2）题设“当△PEF的周长最小时”，如何理解是重点。
△PEF中，E，F固定，点P是动点，按一般思路，
只有当E，F，P三点共线时，其周长最小，
但本题中这三点是不可能的。
因而变通为：通过找点E（或F）关于DC的对称点，
再通过连线找交点确定点P的位置。
为此，作点E关于DC的对称点E’，连接FE’
交DC于点P，则此时△PEF的周长最小。
设菱形的边长为x，则DE=4-x，再Rt△EDC中，
由勾股定理得，x^2-（4-x）^2=2^2,
解得x=5/2，4-x=3/2,
由△PDE’∽ △PCF得，
DP：CP=（4-x）：x=3/5
（3）设BP交AC于N，利用△NPC∽ △NBA
的对应边成比例来求PC。
为此，作BQ//EF，交AC于点Q，
则有BQ⊥AC，当∠EMP=45°时，
又有OM=ON，QB=QN，
在Rt△ABC中，用勾股定理求AC=2√5，
同时利用AB×BC=AC×BQ求得，
BQ=QN=4√5/5,
利用射影定理（勾股定理）求AQ=2√5/5,
从而AN=AQ QN=6√5/5，NC=4√5/5，
再由△NPC∽ △NBA得，
PC:AB=NC:AN,
代值计算得，PC=4/3。
综述：1.本题综合性极强，对分析问题能力，解决问题能力是个考验。
2.知识点：
菱形的判定，轴对称（将军饮马模型），全等，相似，勾股定理，射影定理，解方程等。
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