从微积分的角度来看圆的面积为什么是πr²这是《机器学习中的数学基础》系列的第8篇，也是微积分的第1篇提起微积分，你的第一印象是什么？复杂的公式？艰难的求导？今天我们抛开这些统统不谈，从最常见的圆的面积切入，让你更直观、更形象地理解微积分说起。
这是《机器学习中的数学基础》系列的第8篇，也是微积分的第1篇。
提起微积分，你的第一印象是什么？复杂的公式？艰难的求导？今天我们抛开这些统统不谈，从最常见的圆的面积切入，让你更直观、更形象地理解微积分。
说起圆的面积，大伙都知道，就是πr²。那这个是怎么来的呢？我们先画个圆：
如上图，这是一个圆，它的半径是r。那怎么求它的面积呢？这里我们用分割法，把圆分割成一个个的小圆环，如下图所示：
那么圆的面积，就等于这些圆环的面积之和。而且可以看出，越往里，圆环的周长越小；越往外，圆环的周长越大。我们单独拿一个圆环出来，假设它是用纸做的，用剪刀剪开，就得到下面这个梯形：
这个梯形的下底边的长度是2πr，也就是这个圆环对应的周长，r就是这个圆环所对应的半径，梯形的高我们暂且就叫他dr吧。那么，我们分割的圆环越细，也就是说dr越小，这个梯形的面积就越接近于长方形的面积。其中，长方形的底就是2πr，高就是dr。
好，现在我们要做一个游戏。把圆中所有的圆环都抽出来，并且都剪开，就得到了一个又一个的长方形（近似）。然后，把这些小长方形都竖起来，按从小到大的顺序排列好，就得到了下图：
我们想要圆的面积，也就是上图中绿色小长方形的面积。观察上图，可以发现，我们把圆分割的越细，也就是每个长方形越窄，那绿色长方形的面积就越接近于三角形OAB的面积。那当我们把圆分割的足够细的时候，也就是说当长方形的宽接近于0，但不等于0的时候，可以认为，圆的面积就是三角形OAB的面积。
再来仔细看看这个△OAB，三角形的底OA是啥呢？OA就是由很多个小长方形的宽组合而成的，那小长方形的宽加起来，就是圆的半径r。三角形的高AB呢？它就是最外面那个圆环的周长，也就是2πr。所以，这个三角形的面积就是底乘高再除以2。也就是说，圆的面积p=1/2*r*2πr=πr²。
OK，大功告成。
