我们首先看看比格斯教授基于下面一道学生解答数学题的研究。比格斯根据学生解决问题的思维表现将学生学习的结果由低到高概括为五个不同的层次，这五种结构的具体含义如下。比格斯认为学生对于某项具体知识的掌握是存在SOLO评价的五种层次水平的，教师可以根据学生对某个问题的解决做出分析与判断学生对该项知识内容的掌握情况。
考量小学生思维结构的面积类试题编制研究
朱行建
天津经济技术开发区教育促进中心 天津 300457
摘要:通过对面积类应用题测试结果的分析，找出了问题表征对小学数学应用题解决的影响,进一步分析了面积类应用题的影响因素，运用SOLO评价的方法，提出了预先考量小学生思维结构缺失及教学补救的面积类试题编制方法。
关键词：SOLO评价 表征 面积类应用题 编制
为了加强对小学教学质量的监控，我区每年选取小学四年级为测试对象进行数学核心能力测试。由于面积问题是一个重要的教学内容，因此每年测试我们都编制了考查学生对面积知识掌握的试题，但是考查的结果与我们预期的结果相差很大。这一现象引起了我们的反思。
- 小学数学应用题案例
例1．一块长10米，宽5米的长方形菜地，分成两块同样大小的正方形，每块地面积是（ ）
例2．一张正方形彩纸周长是24厘米，要用（ ）个1平方厘米的小正方形才能排满这张纸。
例1的预测难度是0.95，但是实测难度是0.58，例2的预测难度是0.85，但是实测难度是0.44。预测难度与实测难度差距较大，说明教师对学生知识掌握情况了解不够，那么怎样通过试题的解决对学生的知识掌握情况有更好的了解，从而采取有针对性的补救措施？解决方案之一就是运用SOLO理论在试题编制阶段能够预先进行考量。
- 问题表征对小学数学应用题解决的影响
应用题又称为数学文字题，是以现实世界中的事件与关系为题材, 用自然语言叙述, 以执行数学运算为主的问题。问题表征是指在头脑中对问题信息进行记载、理解和表达的方式[[1]]。表征是问题解决的一个中心环节，如果一个问题得到了正确的表征，就可以说它已解决了一半[2]。已有研究表明数学问题表征能力较差或者缺乏适当的问题表征方式是造成儿童学习困难的重要原因[3]。小学生应用题的表征方式有复述内容、图式表征、图片表征、直译表征、语义结构分析等，而图式表征和语义结构分析表征是两种被选用次数最多的表征方式。语义结构分析表征是通过对具体每一个语句的理解来建构问题的表征，图式表征即描述问题中空间关系的表征[4]。纪桂萍等(1996)在研究中把数学问题解决中的心理表征分为形象表征和抽象表征两种。同时, 她们在研究中发现小学生的思维具有形象性的特点,图形表征是小学生问题解决过程中的一种重要表征系统[5]。
与一般学优生相比，学困生往往更容易表现出依据应用题的表面文字来分类的倾向[6]。成绩优秀的小学生在解应用题时，会采用言语表征或图画符号表征，学习障碍儿童却不能建立这种关系[7]。复述内容是小学生选择次数第二多的表征方式，仅次于语义结构分析表征， 而选择这种方式解题的学生基本上都是学困生组，学优生中采用这种表征方式解题的人数很少。从各种表征方式下解题有效性的比较来看， 复述内容是这六种表征方式中有效性最差的一种表征方式。学困生在对题目的理解上显然比正常学生要吃力很多， 而思维逻辑又不及普通学生敏捷， 于是便一次又一次复读题目， 通过多次复述内容， 以便达到正确理解题目的目的， 而应用题文字表述中隐藏的逻辑与数量关系不是单靠重复阅读就能完全明白的， 因此复述内容是一种效率较低的表征方式[8]。
辛自强（2009）研究表明[9]，四年级在应用题解决上的通过率都显著低于其他三个年级,但是五、六、七年级的通过率差异不显著。这表明四年级是这类数学应用题表征水平发展的重要时期,儿童在这个时期,表征能力迅速提高,到了五年级表征水平发展到了一个新的水平,而五至七年级个体的表征水平则提高比较缓慢。对于各年级的被试来讲,最难表征的是面积应用题,尤其是复杂性高的面积应用题。可能的原因在于,在复杂性较高的应用题上,涉及到了周长,个体若正确求出面积,还需要掌握周长公式,对于个体知识经验的要求增加了任务难度。因此,与其他应用题相比,个体在面积问题上的表征最难。已有研究也表明三四年级是儿童问题表征发展中的一个关键期与转折期[10]。
从以上的文献分析我们可以得出，这类面积问题的解决取决于学生一是要通过语义结构分析表征和图式表征建立起来联系，即通过画示意图形的办法来体现文字表述的含义，二是选择正确的周长和面积的概念，运用公式解决问题，三是四年级是数学应用题表征水平发展的重要时期，特别是面积类问题本身就是难度最大的问题。
- SOLO评价简介[11]
国际著名教育心理学家比格斯（J·B Biggs）教授在研究学生解决问题时发现学生的思维是存在一定的层次结构的。我们首先看看比格斯教授基于下面一道学生解答数学题的研究。
如图：用牙签摆成框形图案，四根摆一个框，七根摆两个等。
（1）多少根牙签能摆三个框？
（2）摆五个框比摆三个框多用多少根牙签？
（3）用31根牙签能摆多少个框？
（4）如果摆成了n个框，则用去了多少根牙签？
比格斯在研究学生解决问题的思维表现认为：
解决第（1）题学生只要看看题图的相关部分，然后数一数牙签的根数即可；
解决第（2）题需要学生做三件事：计算摆5个框需要多少根牙签,再数一数摆3个框需要多少牙签，最后计算两者的差；
解决第（3）题学生必须理解到：摆第一个框需4根牙签，但以后每摆一个框就要利用前框中的一根牙签，所以每加一框只需用3根。这样，可以取31根牙签中的4根摆成第一个框，剩余部分用3去除，得到9，所以最终答案是10。
解决第（4）题学生则避开具体数字，直接归纳出所有的情形：3（n-1） 4。
比格斯把学生解决第（1）个问题思维所处的层次称为单点结构(unistructural)；解决第（2）个问题思维所处的层次称为多点结构(multistructural)；解决第（3）个问题思维所处的层次称为关联结构(relational)；解决第（4）个问题思维所处的层次称为拓展抽象结构(extended abstract)。
比格斯根据学生解决问题的思维表现将学生学习的结果由低到高概括为五个不同的层次，这五种结构的具体含义如下。
前结构：没有形成对问题的理解，回答问题逻辑混乱；
单点结构：回答问题时，只能联系单一事件，只需运用一种策略就可以立即解决问题；
多点结构：回答问题时，需要对问题的基本理解，能联系多个孤立事件，但未形成相关问题的知识网络，也不必理解问题的整体结构；
关联结构：回答问题时，能够联想多个事件，并能将多个事件联系起来，对问题形成了整体结构的认识。
拓展抽象结构：回答问题时，具有高度的抽象概括思维，能够把问题进一步得到得到拓展与延伸。
上述学生解决问题的思维层次是否合理？ 1988年在香港Biggs用该题分别对两所学校的几百名初一学生进行测试，测试结果如下：
从上面两个学校的测试结果看，尽管两个学校的学生学习水平是不同的，但是，试题的层次结构与试题的难度是一致的。
比格斯认为学生对于某项具体知识的掌握是存在SOLO评价的五种层次水平的，教师可以根据学生对某个问题的解决做出分析与判断学生对该项知识内容的掌握情况。在教学与测试中，我们可以将上述五个层次赋予不同的等级分数，这样就把学生对问题回答的质量作出了量化处理。因此，这种方法是一种以等级描述为基本特征的质性评价方法。称之为SOLO评价法，是“可观察的学习成果结构（SOLO：Structure of the Observed Learning Outcome）”的简称。五个建构层次的进阶关系可以用下图表示。
因此，这种评价方式可以帮助教师进行教学诊断和及时补救，同时也给我们提供了一种试题编制的新方法。
四、基于SOLO评价理论的小学试题编制
通过SOLO评价理论编制的面积试题不仅能够知道学生在哪个层次出现了问题,能够在教学中及时采取相应的措施进行补救,还能够有利于学生采取正确的问题表征来进行解决问题,通过这样长期的教学与训练,能够使得学生的问题表征的能力和思维层次都得到提高，同时也克服了学生在解决面积类问题时畏难的学习情绪。
由于面积类应用题本身就是学生解决的难点问题，考虑到面积类应用题解决主要受到语义结构分析表征和图式表征的影响，因此，在编制时要考虑将文字表述转换成为示意图表示。
下面，我们仍然取上面的例1来进行研究，首先我们按照SOLO评价的理论分析解决这一问题时思维在各层次上的表现，然后再依据这些层次来编制试题。
题目：一块长10米，宽5米的长方形菜地，分成两块同样大小的正方形，每块地面积是（ ）。
学生在解决这一问题时的思维结构是：
单点结构：学生能够把语义结构分析表征转化为图式表征，知道长方形与正方形的概念，能够画出长方形的图形并且进行分割成为两个正方形
多点结构：学生知道长方形和正方形的面积公式，即知道边长和面积的关系。
关联结构：知道正方形的面积与长方形的面积之间的关系与联系，知道每块地的面积是用除法。或者根据分割的图形独立求出一个正方形的面积
拓展抽象：如果知道长或者宽中的任何一个，并且满足长是宽的2倍的正方形，可以推广到任意大小的两个正方形的面积求解。
根据以上的分析，我们把本题编制成为以下一道试题：
题目：一块长10米，宽5米的长方形菜地，分成两块同样大小的正方形。
- 画出长方形和正方形的图形，并且在图形上标出长与宽
- 求出长方形的面积
- 求出每个正方形的面积
- 如果长是106米，且长是宽的2倍的长方形分成两个面积相等的正方形，那么每个正方形的面积是多少？
如果学生能解决第1个问题，说明学生知道长方形、正方形的概念，或者知道长与宽的概念，思维处于单点结构；如果学生能解决第2个问题说明，学生知道边长和面积的关系，思维处于多点结构；如果学生能解决第3个问题，说明学生知道正方形的面积与长方形的面积之间的关系与联系，思维处于关联结构；如果学生能解决第4个问题，说明学生懂得如果知道长或者宽中的任何一个，并且满足长是宽的2倍的正方形，就可以求出正方形的面积。
运用SOLO理论编制的面积类试题能够预先进行考量学生的思维处于什么结构层次，尽而通过学生对问题的解决暴露出来的思维结构层次的缺失采用相应的措施进行教学补救，使学生问题解决的能力得到提升和发展。
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11．朱行建.SOLO 评价：一种试题难度预估的新方法[J] .教学与管理,2010 ，（9）：76
- 天津市“十三五”规划项目：核心素养理念下区域课程领导力提升研究（BE3196）
- 作者简介：朱行建（1964—），男，安徽宣城人，特级教师，主要从事教育测量与评价研究。 ↑
