已知P(1,1)、Q(2,1)，求解以下有关问题。求线段PQ中间某点P2的坐标，使得1PP2=2P2Q。计算PQ两点的距离。求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=3/2时的双曲线方程。解：介绍两种方法来求P2点坐标。因为PP2/p2Q=2/1，所以定比分点λ1=2.则所求P2的横坐标x2=/(1λ1)同理，坐标轴y2=/(1λ1)。即可求出x3=4，y3=1。求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。
已知P(1,1)、Q(2,1)，求解以下有关问题。
(1)求线段PQ中点坐标P1。
(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得1PP2=2P2Q。
(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1:2。
(4)计算PQ两点的距离。
(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。
(6)求以P,Q两点长轴为焦点，离心率e=1/2时的椭圆方程。
(7)求以P,Q两点长轴为顶点，离心率e=1/2时的椭圆方程。
(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=3/2时的双曲线方程。
(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=3/2时的双曲线方程。
(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。
(1)求线段PQ中点坐标P1。
解：设中点P1的横坐标为x0，纵坐标为y0，
根据题意，有：
x0=(1 2)/2=3/2;
y0=(1 1)/2=1.
即中点P1的坐标为P1(3/2, 1).
(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得1PP2=2P2Q。
解：介绍两种方法来求P2点坐标。
思路一：两点间距离公式法。
设P2(x2,y2),由两点间距离公式有：
|PP2|=√[(1-x2)^2 (1-y2)^2];
|P2Q|=√[(2-x2)^2 (1-y2)^2].
1^2[(1-x2)^2 (1-y2)^2]=2^2[(2-x2)^2 (1-y2)^2]
1-2x2 x2^2 1-2y2 y2^2=16-16x2 4x2^2 4-8y2 4y2^2
3x2^2 3y2^2-14x2-6y2 18=0.
又因为点P2和P,Q在一条直线上，P2P与PQ的斜率相等，则：
(y2-1)/(x2-1)=0,
即：y2-1=0
y2=1,代入距离关系式方程有：
3x2^2 3*1-14x2-6*1 18=0
化简得：3x2^2-14x2 15=0,即：
(3x-5)(x-3)=0,由于1<x2<2,
求出x2=5/3，进一步代入求出y2=1.
思路二：定比分点法。
因为PP2/p2Q=2/1，所以定比分点λ1= 2.
则所求P2的横坐标x2=(1 2λ1)/(1 λ1)
同理，坐标轴y2=(1 1λ1)/(1 λ1)。
即可求出x2=5/3，y2=1。
所以所求点的坐标P2(5/3，1).
(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1: 2。
解：用定比分点法求解。
因为PQ:QP3=1: 2，所以定比分点λ2=-3/2;
则所求P3的横坐标x3=(12λ2)/(1 λ2)
同理，坐标轴y3=(1 1λ2)/(1 λ2)。
即可求出x3=4，y3=1。
所以所求点的坐标P2(4，1).
(4)计算P、Q两点的距离。
解：根据两点间距离公式有：
d=|PQ|=√[(1-2)^2 (1-1)^2]
=√(1 0)=1.
即P、Q两点的距离为1。
(5) 求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。
解：由P(1,1)、Q(2,1)知P,Q两点所在直线的斜率k1为：
k1=(1-1)/(2-1)=0.
则P,Q的直线方程L1的方程为：
y-1=0，即y=1.
由题意知，直线L2的斜率k2不存在，
即可求出所求的直线L2的方程为：x=3/2。
(6)求以P,Q两点为长轴焦点，离心率e=1/2时的椭圆方程。
解：根据题意设椭圆的半焦距为c，则有
2c=|PQ|=1；
即c=1/2，此时c^2=1/4;
又因为离心率e=1/2=c/a，则:
a=1，此时a^2=1;
此时b^2=a^2-c^2=1-1/4
=3/4,
故此时椭圆方程为：
(x-3/2)^2 (y-2/2)^2/(3/4)=1.
(7)求以P,Q两点为长轴顶点，离心率e=1/2时的椭圆方程。
解：根据题意设椭圆的半焦距为c，长半轴为a，则有：
2a=|PQ|=1，此时a=1/2，
进一步得a^2=1/4.
由离心率e=1/2=c/a,则：
c=1/4，此时c^2=16;
由b^2=a^2-c^2=1/4-1/16
=3/16，
故此时椭圆方程为：
(x-3/2)^2/(1/4) (y-2/2)^2/(3/16)=1.
(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=3/2时的双曲线方程。
解：根据题意设双曲线的半焦距为c，则有
2c=|PQ|=1，
即c=1/2，此时c^2=1/4;
由离心率e=3/2=c/a,则：
a=1/3，此时a^2=1/9;
由a^2 b^2=c^2得：
b^2=c^2-a^2=1/4-1/9
=5/36,
故此时双曲线的方程为：
(x-3/2)^2/(1/9)-(y-2/2)^2/(5/36)=1.
(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=3/2时的双曲线方程。
解：根据题意设双曲线的半焦距为c，长半轴为a，则有：
2a=|PQ|=1，此时a=1/2，
进一步得a^2=1/4.
由离心率e=3/2=c/a,则：
c=3/4，此时c^2=9/16;
由a^2 b^2=c^2得：
b^2=c^2-a^2=9/16-1/4,
=5/16，
故此时双曲线方程为：
(x-3/2)^2/(1/4)-(y-2/2)^2/(5/16)=1.
(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。
解：以P(1, 1)为顶点，Q(2, 1)为顶点则有：
p/2=|PQ|=1,
则2p=4,此时抛物线的方程为：
(y-1)^2=-4(x-2)。
